（說(shuō)明一下，感謝篇幅很長(zhǎng)，我花了很長(zhǎng)時(shí)間才寫完。盡力在講明白數(shù)列問(wèn)題得同時(shí)，融入我多年學(xué)習(xí)與教學(xué)得思考和經(jīng)驗(yàn)，里面涉及到學(xué)習(xí)得方法、心得和體會(huì)，希望對(duì)有需要得朋友有所幫助）

數(shù)列是高考數(shù)學(xué)得必考點(diǎn)，一般會(huì)考一道大題12分，第壹小問(wèn)6分比較簡(jiǎn)單，第二小問(wèn)6分難度中等或偏上?？赡苡泻芏嗤瑢W(xué)認(rèn)為數(shù)列問(wèn)題很難，看到數(shù)列問(wèn)題心里是有點(diǎn)害怕得。那多半是因?yàn)閷?duì)數(shù)列得基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不牢，基本方法總結(jié)得不夠，導(dǎo)致在面對(duì)數(shù)列問(wèn)題時(shí)，自信心不足，存在畏難情緒。

根據(jù)我得經(jīng)驗(yàn)，大部分中等成績(jī)得學(xué)生，在面對(duì)題目時(shí)，會(huì)高估題目得難度，低估自己得實(shí)力，從而在做題時(shí)沒(méi)有信心，更沒(méi)有思路。而成績(jī)好得同學(xué)，能夠正確判斷題目難度，知道該選擇什么方法，思路很明確，從而能夠充滿信心地做題。

他們之間得差別在哪里，不在于努力程度，而在于善不善于總結(jié)?？赡芤粋€(gè)中等成績(jī)得學(xué)生，做得題目很多，但是你要問(wèn)他這些題目考察了什么知識(shí)點(diǎn)，使用了什么方法，遇到什么問(wèn)題具體可以使用哪些方法，他們是茫然得，關(guān)鍵原因還是平時(shí)不善于做總結(jié)。而成績(jī)優(yōu)秀得學(xué)生一般比較善于總結(jié)，所以他們對(duì)一道題目考察了什么知識(shí)，使用什么方法，在讀題得時(shí)候就了然于心，做題時(shí)自然胸有成竹，信心滿滿。

面對(duì)一道題目，沒(méi)有信心和有信心，做題得狀態(tài)和結(jié)果是截然不同得。

所以，今天我們通過(guò)對(duì)數(shù)列問(wèn)題得講解，不僅要講解清楚數(shù)列問(wèn)題得基礎(chǔ)知識(shí)，基本方法，更要學(xué)習(xí)怎樣對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和方法進(jìn)行總結(jié)，怎樣對(duì)題目進(jìn)行分析，怎樣提高學(xué)習(xí)得信心。

什么是數(shù)列，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是一些數(shù)字排成一個(gè)隊(duì)列，比如1 、 2 、 5、 6、 9……，這是一個(gè)數(shù)列，比如1、 3 、5、 7、 9……這也是一個(gè)數(shù)列，1、 2、 4、 8、 16 ……也是一個(gè)數(shù)列。

這三個(gè)數(shù)列都有其自身得特點(diǎn)。

第壹個(gè)數(shù)列數(shù)字之間沒(méi)有明確得相互關(guān)系和規(guī)律；

第二個(gè)數(shù)列，每個(gè)數(shù)與它前面得數(shù)之間得差相等，這樣得數(shù)列，我們就叫它等差數(shù)列；

第三個(gè)數(shù)列，每個(gè)數(shù)和它前面得數(shù)之間得倍數(shù)相等，這樣得數(shù)列，我們就叫它等比數(shù)列。

這是等差數(shù)列和等比數(shù)列得簡(jiǎn)單得一個(gè)定義。接下來(lái)要討論得所有關(guān)于等差數(shù)列等比數(shù)列得性質(zhì)和知識(shí)，都是從這個(gè)基本定義發(fā)展起來(lái)得?？赐赀@篇文章之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)點(diǎn)之間是有密切得聯(lián)系得，它們可以用一根線串起來(lái)，捋著線頭，就可以順著一路找到線尾。

我們先從等差數(shù)列說(shuō)起。等差數(shù)列得一切性質(zhì)和方法，起源于它得概念：

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它得前一項(xiàng)得差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列得公差，公差通常用字母d表示。

有了這個(gè)概念，我們就可以寫出無(wú)數(shù)個(gè)等差數(shù)列出來(lái)，我們就用上面提到得最簡(jiǎn)單得一個(gè)等差數(shù)列作為例子，來(lái)研究等差數(shù)列得基本性質(zhì)。

數(shù)列1： 1 、 3、 5、 7、 9、 ……a（n-1）、 an……

從這個(gè)數(shù)列中，通過(guò)觀察和計(jì)算，我們可以發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列得很多性質(zhì)來(lái)：

an-a（n-1）=2 、 an=1+2（n-1） 、 2an=a（n-1）+a（n+1）

a1+a4=a2+a3、 進(jìn)一步還可以得出當(dāng)m+n=p+q時(shí)，am+an=ap+aq。

這些性質(zhì)只要我們?cè)诩埳蠈懸粚懏嬕划嫞呛苋菀椎贸鰜?lái)得。那么這些性質(zhì)是我們通過(guò)這個(gè)特殊數(shù)列發(fā)現(xiàn)得，如果放在其他等差數(shù)列里，這些性質(zhì)還存在么？

接下來(lái)，我們開始從特殊到一般得過(guò)程。寫一個(gè)等差數(shù)列得一般形式。首項(xiàng)是a1，公差是d.如下

數(shù)列2： a1、 a1 +d、 a1 +2d、a1 +3d、……a1 +(n-1)d

顯然，這是一個(gè)等差數(shù)列得通用形式，適用于任何一個(gè)等差數(shù)列。

容易看出：an-a（n-1）=d 、 an=a1+（n-1）d 、 2an=a（n-1）+a（n+1）

上面三個(gè)性質(zhì)是通過(guò)等差數(shù)列基本概念可以得出來(lái)得。

進(jìn)一步我們得到，當(dāng)m+n=p+q時(shí)，am+an=ap+aq.

我們對(duì)m+n=p+q時(shí)，am+an=ap+aq，做一個(gè)簡(jiǎn)單得證明。

因?yàn)?am=a1+（m-1）d,an=a1+（n-1）d,ap=a1+（p-1）d,aq=a1+（q-1）d

當(dāng)m+n=p+q時(shí)，

am+an=a1+（m-1）d+a1+（n-1）d=2a1+（m+n-2）d

ap+aq=a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=2a1+（p+q-2）d

因?yàn)閙+n=p+q，所以兩式相等，得證。

以上標(biāo)紅得所有等差數(shù)列得性質(zhì)，都是我們從等差數(shù)列得概念出發(fā)，通過(guò)寫出一個(gè)特殊數(shù)列和一般數(shù)列，然后通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，然后進(jìn)行證明是正確得。我相信同學(xué)們只要愿意動(dòng)手、思考，你們可以發(fā)現(xiàn)更多得性質(zhì)和規(guī)律，運(yùn)用這樣得方法，在以后得學(xué)習(xí)中能夠做到觸類旁通，聞一知百。

接下來(lái)，我們來(lái)研究等差數(shù)列得和。

同樣，我們先寫一個(gè)簡(jiǎn)單得等差數(shù)列：

數(shù)列3： 1、 2、 3、 4、 …… 97、 98、 99 、 100；

這是一個(gè)首項(xiàng)是1，公差是1，項(xiàng)數(shù)是100得等差數(shù)列，怎么求這個(gè)數(shù)列所有數(shù)字得和呢？

肯定很多同學(xué)是知道怎么求這個(gè)等差數(shù)列得和得。沒(méi)錯(cuò)，就是把這個(gè)數(shù)列倒轉(zhuǎn)來(lái)再寫一遍。

1、 2、 3、 4、 …… 97、 98、 99 、 100；

100 、 99、 98、 97 ……4、 3、 2、 1；

上下數(shù)字一一對(duì)應(yīng)，容易發(fā)現(xiàn)每一組上下對(duì)應(yīng)得數(shù)字相加是相等得，都等于101，一個(gè)用100組，所以上下兩式加起來(lái)=101×100=10100，我們要求得是上面數(shù)列得和，很顯然，上下兩個(gè)數(shù)列和是相等得。 所以數(shù)列3得所有數(shù)字和=10100÷2=5050.

我們總結(jié)一下這個(gè)計(jì)算方法，得到一個(gè)公式：

等差數(shù)列得和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2.

同樣，這個(gè)公式我們是通過(guò)一個(gè)特殊數(shù)列得到得，對(duì)于其他等差數(shù)列是否適用，我們需要從特殊推廣到一般。還是老辦法，寫一個(gè)等差數(shù)列得一般形式，還是用上面用過(guò)得數(shù)列2.

數(shù)列2：a1、 a1 +d、 a1 +2d、a1 +3d、……a1 +(n-1)d

依葫蘆畫瓢，我們把這個(gè)數(shù)列倒轉(zhuǎn)來(lái)寫一遍，兩個(gè)數(shù)列上下一一對(duì)應(yīng)。

a1、 a1 +d、 a1 +2d、…… a1 +(n-3)d、 a1 +(n-2)d、 a1 +(n-1)d

a1 +(n-1)d、a1 +(n-2)d、 a1 +(n-3)d、…… a1 +2d、 a1 +d、 a1

上下一一對(duì)應(yīng)

容易發(fā)現(xiàn)上下對(duì)應(yīng)得每組數(shù)字相加都等于2a1+(n-1)d。一共有n項(xiàng)，

所以數(shù)列2得前n項(xiàng)和=(a1 +an)n/2,

我們把數(shù)列得前n項(xiàng)和記作Sn, 所以Sn=(a1 +an)n/2。

因?yàn)镾n=a1 +a2+a3+……+an,Sn-1=a1 +a2+a3+……+an-1

所以Sn-Sn-1=an

以上，我們通過(guò)一些基本得步驟，從等差數(shù)列得概念出發(fā)，把等差數(shù)列得一些基本性質(zhì)，基本公式發(fā)現(xiàn)并論證出來(lái)。

我們把這些性質(zhì)和公式放在一起，看看它們有什么用處。為了便于區(qū)分，我給這幾個(gè)公式分別取個(gè)名字，也有利于說(shuō)明它們得作用。

等差公式：an-a（n-1）=d 、

通項(xiàng)公式 ：an=a1+（n-1）d 、

等差中項(xiàng)公式：2an=a（n-1）+a（n+1）

等項(xiàng)數(shù)和公式：當(dāng)m+n=p+q時(shí)，am+an=ap+aq

前n項(xiàng)和公式：Sn=(a1 +an)n/2=a1 n+(n-1)dn/2

通項(xiàng)表達(dá)式：Sn-Sn-1=an

公式得運(yùn)用：有了這幾個(gè)公式，我們就可以解決等差數(shù)列得絕大部分問(wèn)題了，比如，要證明某個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，只需證明an-a（n-1）=d 成立，或證明an=a1+（n-1）d，如果已知條件沒(méi)有an這一項(xiàng)，我們可以通過(guò)Sn-Sn-1=an 來(lái)得到an得表達(dá)式。

如果知道一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，我們就可以利用an=a1+（n-1）d求出數(shù)列得第n項(xiàng)，利用Sn=(a1 +an)n/2求出前n項(xiàng)和。

接下來(lái)，我們通過(guò)高考真題，來(lái)看下怎么運(yùn)用這些基本性質(zhì)，基本公式解決問(wèn)題。

例1：

例1

本題已知等差數(shù)列前4項(xiàng)和S4=0，a5=5,可利用前n項(xiàng)和公式：Sn=(a1 +an)n/2=a1 n+(n-1)dn/2，和通項(xiàng)公式 ：an=a1+（n-1）d，聯(lián)立組成方程組，求解方程得到a1，和d，算出a1，和d，還是根據(jù)這兩個(gè)公式，得到Sn和an得表達(dá)式。

解答過(guò)程如圖1：

圖1

總結(jié)如下：已知S4和a5,可利用前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式求出a1，和d，知道a1，和d，可根據(jù)前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式，計(jì)算任一項(xiàng)值和前n項(xiàng)和得值。

例2：

例2

分析: 本題已知Sm-1,Sm,Sm+1,可利用通項(xiàng)表達(dá)式：Sn-Sn-1=an，算出am,am+1得值，利用通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d求解； 也可根據(jù)前n項(xiàng)和公式：Sn=(a1 +an)n/2=a1 n+(n-1)dn/2，聯(lián)立方程組求解。

同時(shí)，補(bǔ)充一個(gè)等差數(shù)列得性質(zhì)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則Sn/n 為等差數(shù)列。

同學(xué)們可以根據(jù)上面得公式自己證明一下。

本題解析如圖2：

圖2

總結(jié)：本題考察幾個(gè)數(shù)列公式得運(yùn)用，很靈活，需要通過(guò)對(duì)本題得三種不同解法熟悉公式得靈活運(yùn)用，認(rèn)真分析，爭(zhēng)取能有自己獨(dú)到得體會(huì)。

再來(lái)看一道大題。

例3：

例3

本題要證明數(shù)列是等差數(shù)列，需要證明an-a（n-1）=d，已知等式中含有Sn,和an, 根據(jù)已知等式寫出Sn-1,和an-1得等式，再利用Sn-Sn-1=an，消去Sn,和Sn-1，得到an和a（n-1）得等式，化簡(jiǎn)得證。第二問(wèn)，根據(jù)公式聯(lián)立方程求解即可。

解法如圖3：

圖3

通過(guò)上面三道高考真題，我們不難發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列得求解，最終使用得就是這幾個(gè)最基本得公式和性質(zhì)，所以同學(xué)們一定要熟練掌握這幾個(gè)基本公式，知道每個(gè)公式具體用法，具體解決什么樣得問(wèn)題。

每做一道題，要思考這道題考察了什么知識(shí)點(diǎn)，要解決什么問(wèn)題，需要用到什么公式和方法，通過(guò)不斷地總結(jié)提升，我相信你得學(xué)習(xí)能力和自信心都會(huì)得到很大提高。

以上，我們從等差數(shù)列得一個(gè)基本概念開始，一步一步走下來(lái)，摸清了等差數(shù)列得性質(zhì)，等差數(shù)列得基本公式，利用公式解決了幾個(gè)高考中得實(shí)際問(wèn)題。我相信，通過(guò)以上得學(xué)習(xí)，你已經(jīng)牢固得掌握了等差數(shù)列得基本知識(shí)和方法。并且很重要得一點(diǎn)，通過(guò)這樣前后貫通得學(xué)習(xí)，你掌握得知識(shí)不在是凌亂得一盤散沙，而是相互聯(lián)系得統(tǒng)一整體，即使有一天，你忘了公式，或者公式記不清楚，你也不用擔(dān)心，因?yàn)槟憧梢院芸焱ㄟ^(guò)推導(dǎo)得到正確得公式，還可以通過(guò)其他得性質(zhì)和公式進(jìn)行驗(yàn)證和判斷。這無(wú)疑能夠極大得提高你得學(xué)習(xí)效果和自信心。

接下來(lái)，我們開始學(xué)習(xí)等比數(shù)列，前面等差數(shù)列得推導(dǎo)過(guò)程寫得很詳細(xì)，是為了同學(xué)們能夠熟悉并掌握這種從一個(gè)概念一步一步推導(dǎo)出各種公式得方法，等比數(shù)列得講解就不再如此贅述。

等比數(shù)列：

同樣我們先從等比數(shù)列得概念說(shuō)起：

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它得前一項(xiàng)得比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列得公比，公比通常用字母q(q≠0）表示。

利用這個(gè)概念，我們可以寫出等比數(shù)列得一般形式：

a1、 a1q、 a1q^2、a1 q^3、……a1 q^(n-1)

我們得到an得通項(xiàng)公式an=a1 q^(n-1)

通項(xiàng)公式推廣an=am×q^(n-m) ，可自行證明。

等比數(shù)列求和方法如下：

把等比數(shù)列每一項(xiàng)乘以q,得到一個(gè)新得數(shù)列

a1、 a1q、 a1q^2、a1 q^3、……a1 q^(n-1)

a1q、 a1q^2、a1 q^3、……a1 q^(n-1)、 a1q^n

上下兩個(gè)數(shù)列相見得到：

Sn-qSn=a1-a1q^n

化簡(jiǎn)得到Sn=a1（1-q^n）/(1-q) ；（q≠1）

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1

以上，我們得到了等比數(shù)列得通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，同時(shí)，我們也掌握了等比數(shù)列前n項(xiàng)和得一種推導(dǎo)方法。請(qǐng)同學(xué)們深刻體會(huì)這種求和方法，因?yàn)樵趯?lái)得題目中，經(jīng)常會(huì)用到這種方法。比如下面這個(gè)題目：

例4：

例4

本題第壹問(wèn)很簡(jiǎn)單，第二問(wèn)數(shù)列得每一項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)等差數(shù)列得乘積，要計(jì)算這個(gè)數(shù)列得前n項(xiàng)和，方法還是用等比數(shù)列前n項(xiàng)和得方法計(jì)算。接下如圖4：

圖4

從這道題，我們看出掌握基礎(chǔ)方法和靈活運(yùn)用得重要性了吧。希望同學(xué)們通過(guò)這道題目，熟練掌握這種計(jì)算前n項(xiàng)得方法，并能夠融會(huì)貫通，使它成為你解決等比數(shù)列得一個(gè)必備技能。

不知不覺(jué)，已經(jīng)寫了很多了，可能很多人不會(huì)有耐心看完這篇文章，如果你已經(jīng)耐心看到這里，我會(huì)感到很高興，希望對(duì)你有點(diǎn)幫助。

最后，通過(guò)今年得一個(gè)高考押題題目，結(jié)束這篇文章。

例5：

例5

分析：本題求通項(xiàng)公式，那么首先想到要用通項(xiàng)表達(dá)式：Sn-Sn-1=an,已知條件通過(guò)這個(gè)公式進(jìn)行一個(gè)化簡(jiǎn)，然后用前面講到得方法就可以得到通項(xiàng)公式了。

第二問(wèn)，第壹眼看上去感覺(jué)難度挺大得，但是請(qǐng)同學(xué)們遇到這種類型題目時(shí)，一定不要害怕，往往形式看上去很難得題目，通常很容易得到化簡(jiǎn)，這道題目就是。

所以，遇到看似復(fù)雜得題目，一定要保持冷靜，很多時(shí)候簡(jiǎn)單得題目常常以復(fù)雜得面目出現(xiàn)。本題還考察了一個(gè)裂項(xiàng)公式，這個(gè)裂項(xiàng)公式其實(shí)在我們小學(xué)得時(shí)候就已經(jīng)接觸過(guò)了，相信很多同學(xué)都已經(jīng)很熟了，看似復(fù)雜，實(shí)則簡(jiǎn)單。

自己如果做完了，再對(duì)答案吧。答案如下：

文章有點(diǎn)長(zhǎng)，如果你能從頭到尾讀完這篇文章，并掌握文章涉及到得學(xué)習(xí)方法，我相信你會(huì)有所收獲。