中考幾何壓軸 26 幾何與函數(shù)
這一系列，不限專題，解析系列經(jīng)典幾何題，提高幾何分析解決問題能力。
題29. 《存在性與唯一性》
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋(3/2)x＋c與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)D，函數(shù)y＝(3/4)x＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)C，已知A(-3,0)、C(-8,0)，
(1). 求a、c得值和點(diǎn)B得坐標(biāo)；
(2). 試探究：在直線CD上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)得坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3). 設(shè)E為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是平面直角坐標(biāo)系中x軸上方得一個(gè)點(diǎn)，若以A、B、E、F為頂點(diǎn)得平行四邊形得面積等于△ABD得面積，請(qǐng)直接寫出符合條件得點(diǎn)E得坐標(biāo)。
〖一般性提點(diǎn)〗
[1]. 二次函數(shù)與幾何原理相結(jié)合得問題中，存在性和唯一性總是重要得基本問題。
[2]. 反比例函數(shù)，在本質(zhì)上也是二次型得，因?yàn)楸磉_(dá)y＝k/x與xy＝k是完全等價(jià)得，前者是典型得函數(shù)型表達(dá)式，后者則屬于方程表達(dá)式。
[3]. 在未給題圖得時(shí)候，盡量精準(zhǔn)畫出二次函數(shù)曲線很重要，對(duì)于拋物線，關(guān)鍵點(diǎn)要精確：頂點(diǎn)坐標(biāo)（對(duì)稱軸）、與x軸得交點(diǎn)、與y軸交點(diǎn)、以及開口方向。
[4]. 在此類問題中，過(guò)某點(diǎn)分別作x軸、y軸平行線是常見得幫助線。
[5]. 函數(shù)與方程得區(qū)別
<1>. 在稱謂上不同。含有兩個(gè)變量得函數(shù)y＝f(x)，稱為是一元函數(shù)，意思是自變量得個(gè)數(shù)是1個(gè)；含有兩個(gè)變量得方程，稱為是二元方程，意思是含有兩個(gè)未知數(shù)；
<2>. 變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系得限制不同：函數(shù)關(guān)系不允許對(duì)應(yīng)同一個(gè)自變量得值，因變量得值不唯一得情形；而對(duì)于方程關(guān)系，則沒有這樣得限制。
因此，函數(shù)關(guān)系一定也是方程關(guān)系，但是反過(guò)來(lái)，方程關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系。方程關(guān)系要比函數(shù)關(guān)系寬泛。
〖題目分析〗
(1). 求a、c得值和點(diǎn)B得坐標(biāo)；
[1]. 參數(shù)c得值
題設(shè)一次函數(shù)y＝(3/4)x＋c 只含一個(gè)未知參數(shù)c，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-8,0)，點(diǎn)C得坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，解得c＝6；
確定得一次函數(shù)表達(dá)式：
y＝(3/4)x＋6；
[2]. 參數(shù)a得值
再由題設(shè)二次函數(shù) y＝ax2＋(3/2)x＋c 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0)，點(diǎn)A得坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，解得a＝-1/6；
于是確定得二次函數(shù)表達(dá)式為：
y＝-(1/6)x2＋(3/2)x＋6
[3]. 點(diǎn)B得坐標(biāo)
點(diǎn)B是二次函數(shù)與x軸得另一個(gè)交點(diǎn)，解方程
-(1/6)x2＋(3/2)x＋6＝0
得B(12,0)；
(2). 試探究：在直線CD上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)得坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
[1]. 畫出基本題圖
拋物線與x軸交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)；與y軸交點(diǎn)D(0,6)；頂點(diǎn)坐標(biāo)M(9/2,75/8)；對(duì)稱軸x＝9/2；
直線y＝(3/4)x＋6與x軸交點(diǎn)為C(-8,0)，與y軸交點(diǎn)為D(0,6)；事實(shí)上點(diǎn)M也在該直線上。
[2]. 直線CD上得點(diǎn)P，與點(diǎn)A、B構(gòu)成直角三角形，存在三種可能性：
∠PAB＝90°；P(-3,15/4)
∠PBA＝90°；P(12,15)
∠APB＝90°；P(m, n)
這個(gè)稍微復(fù)雜一點(diǎn)。一方面P點(diǎn)坐標(biāo)滿足拋物線方程；另一方面，基于幾何原理，要找到m、n滿足得另外一個(gè)方程，二者聯(lián)立解得m、n。
設(shè)P(m, n)，作PE⊥x軸于E，則
AE＝m＋3，PE＝n，AB＝15，BE＝12－m
△APE∽△PBE：（或射影定理）
AE/PE＝PE/BE，即
n2＝(12－m)(m＋3)＝-m2＋9m＋36
又P(m, n)在拋物線上：
n＝-(1/6)m2＋(3/2)m＋6
∴ n2－6n＝0，解得n＝0（舍）和n＝6；
n＝6為所求，此時(shí)m＝0，
∴P(0,6)＝D(0,6)，P與D點(diǎn)重合、E與O重合。
(3). 設(shè)E為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是平面直角坐標(biāo)系中x軸上方得一個(gè)點(diǎn)，若以A、B、E、F為頂點(diǎn)得平行四邊形得面積等于△ABD得面積，請(qǐng)直接寫出符合條件得點(diǎn)E得坐標(biāo)。
定線段AB可能是平行四邊形得一條邊，也可能是平行四邊形得一條對(duì)角線；因此存在兩種情形。
S(△ABD)＝|DO|·|AB|/2＝45；
作EG⊥x軸于G，E(λ，τ)無(wú)論AB為邊，還是對(duì)角線，
S(□ABFE)＝|AB|·|EG|＝15|τ|＝45，
∴ τ＝±3，
E在拋物線上，τ＝3：
3＝-(1/6)λ2＋(3/2)λ＋6
解得：λ＝(9±√153)/2；
E在拋物線上，τ＝-3：
-3＝-(1/6)λ2＋(3/2)λ＋6
解得：λ＝(9±3√33)/2；
符合題意得E點(diǎn)，有4個(gè)：
((9＋√153)/2，3)、((9－√153)/2，3)、((9＋3√33)/2，-3)、((9－3√33)/2，-3)。
