如果你也是數(shù)學(xué)老師，不知道你會不會跟我有同樣的感覺：一到幾何的章節(jié)，學(xué)生就學(xué)得頭痛，老師教得也頭痛。
講知識點時，似乎每個學(xué)生都說自己懂；可是做起練習(xí)來，兩極分化就特別嚴重，會的學(xué)生三兩下搞定，不會的學(xué)生對著題目直發(fā)懵。
關(guān)于初中幾何，我寫過兩篇文章：
一篇是《初中幾何解答題學(xué)生會做不會寫過程，數(shù)學(xué)老師可以怎么教？》，解決的是如何引導(dǎo)學(xué)生輸出的問題；
另一篇是《初中數(shù)學(xué)幾何題總是找不到思路，數(shù)學(xué)老師不妨交給學(xué)生四個錦囊》，解決的是如何引導(dǎo)學(xué)生處理的問題。
輸出的前提是處理，那處理的前提是什么？是輸入。
剛好今年教九年級，我們就用第一章《特殊的平行四邊形》中的“菱形”為例，一起聊聊在初中幾何的教學(xué)中，如何有效地引導(dǎo)學(xué)生輸入。
1.獲取概念：菱形是怎么來的？
先來看一個普通的四邊形：
它有四條邊，把它們分成兩組，上下相對的兩邊為一組，左右相對的兩邊為一組，每一組的兩條邊都互為對邊。
下面，我們從對邊的角度，讓普通的四邊形做一次進化。
對邊有什么進化的方向呢？
從位置關(guān)系看，它們可以平行；
從數(shù)量關(guān)系看，它們可以相等。
一個四邊形有兩組對邊，如果只讓其中一組對邊平行，它會進化成什么？梯形。
如果讓兩組對邊分別平行，它又會進化成什么？平行四邊形。
另外，當兩組對邊分別平行的時候，它們同時還分別相等，也就是說，此時四邊形在對邊的數(shù)量關(guān)系上，也做了一次進化。
與普通的四邊形相比，梯形和平行四邊形具有更多的性質(zhì)，所以要高級一些。那么，還有更高級的四邊形嗎？有，我們讓平行四邊形再做一次進化。
剛才的進化是從對邊的角度，現(xiàn)在換一個，改為從鄰邊的角度，比如AB和BC、CD和AD等，每一組鄰邊都有一個交點。
鄰邊有什么進化的方向呢？
從數(shù)量關(guān)系看，它們可以相等；
從位置關(guān)系看，它們可以垂直。
一個平行四邊形有四組鄰邊，如果讓其中一組相等，它就會進化什么？
咋一看，似乎和平行四邊形沒什么兩樣，對不對？其實它比平行四邊形要更高級，我們習(xí)慣稱它為菱形。
所以，一句話總結(jié)，一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形。
這也是課本給出的定義。
2.梳理性質(zhì)：給你一個菱形，你能用它推出什么結(jié)論？
有沒有發(fā)現(xiàn)，解初中階段的幾何題，很多時候都是在做一件事：找條件，推結(jié)論。
如果題目告訴你有一個菱形，那你能用這個菱形推出哪些結(jié)論呢？
結(jié)論有不少，我們可以從線、角、整體和計算四個方面來梳理：
（1）線
常見的線有邊和對角線兩種。
邊分為對邊和鄰邊。其中，對邊平行且相等，這是繼承了平行四邊形的“基因”；鄰邊相等，再結(jié)合對邊相等，就是四邊相等。
對角線互相平分，這也是對平行四邊形性質(zhì)的繼承。除此之外，對角線還互相垂直，且平分一組對角，這一點可以通過折疊一個菱形紙片觀察出來，也可以通過全等三角形證明得到。
（2）角
角分為對角和鄰角。其中，對角分別相等；鄰角互補，也就是相加和為180°。這兩點都是對平行四邊形性質(zhì)的繼承。
（3）整體
從整體上看，菱形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。其中，對角線的交點是它的對稱中心，對角線所在的直線是它的對稱軸。
另外，因為菱形是四邊形，所以它還具有不穩(wěn)定性。
（4）計算
常用的圖形計算有周長和面積。
菱形的周長等于四邊之和，又因為四邊相等，所以菱形的周長等于邊長乘以4。
是不是感覺和某個圖形的周長公式很像？對，我們小學(xué)學(xué)過的正方形，周長也是邊長乘以4。
菱形的面積等于底乘以高，這是繼承了平行四邊形的面積公式。除此之外，菱形還有一條同樣常用的面積公式，就是對角線乘積的一半，這可以通過全等三角形和三角形面積公式證明得到。
在對性質(zhì)的梳理中，我們通常會特別關(guān)注線和角兩個方面。為什么？因為初中階段大多數(shù)的幾何題，本質(zhì)上都是線或角的關(guān)系問題，要么是數(shù)量關(guān)系，要么是位置關(guān)系。
3.學(xué)會判定：給你一個四邊形，怎樣證明它是菱形？
一提到判定，很多同學(xué)就感覺找不到方向。其實判定和看病有點類似，都是看癥狀來下診斷。比如有人如果咳嗽流涕、鼻塞噴嚏，我們就會說他得了感冒，給他吃感冒藥；同樣，如果一個三角形出現(xiàn)“一角為90°”，我們就會說它是直角三角形。
當問到菱形的判定，其實我們想問的是，一個四邊形如果有什么樣的“癥狀”，就可以說它是菱形？
先拿定義下手：“一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形”。定義告訴我們，如果一個四邊形出現(xiàn)兩個“癥狀”，就能斷定它就是菱形：第一，它是平行四邊形；第二，它有一組鄰邊相等。
有沒有別的“癥狀”，能幫助我們下同樣的結(jié)論呢？有，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。這個方法告訴我們，如果一個四邊形具有“平行四邊形”和“對角線互相垂直”兩個癥狀，也可以說它是菱形。我們可以通過全等三角形和菱形定義證明這一點。
上述兩個方法都要求有“平行四邊形”，而且都要求有兩個“癥狀”，有沒有什么辦法，一個“癥狀”就能下結(jié)論？有，四邊相等的四邊形是菱形。這個方法告訴我們，一個四邊形只要具備“四邊相等”這個癥狀，就可以直接說它是菱形。要證明也不難，用平行四邊形的判定和菱形的定義就能做到。
學(xué)到這里，關(guān)于菱形的基礎(chǔ)知識，要掌握的也差不多了。
初中幾何要學(xué)的基本圖形不多，主要有平行線和相交線、三角形、四邊形和圓。每一個圖形的基礎(chǔ)知識，我們都可以通過上文提到的獲取概念、梳理性質(zhì)和學(xué)會判定三個基本問題，幫助學(xué)生有效地輸入。
獲取概念能讓學(xué)生理解概念的由來，把新舊知識連接起來，形成一張網(wǎng)；梳理性質(zhì)能讓學(xué)生把圖形變成一件思考的工具，需要時隨時調(diào)用；學(xué)會判定能讓學(xué)生在解決問題時，能準確認清圖形的本質(zhì)。
這三個問題作為一個框架，就像船的錨，讓我們在根據(jù)學(xué)生情況調(diào)整教學(xué)時，能夠牢牢抓住重心。所謂“教無定法，貴在得法”，就是這個道理。
